素イデアル<=>剰余環が整域
証明
Pを素イデアルとする
$ x \in Rの剰余類を$ \overline{x} = x + P \in R/Pとおく $ \overline{x},\overline{y} \in R/Pに対して、
$ \overline{x}\cdot \overline{y} = 0ならば
$ \overline{xy} = \overline{x}\cdot \overline{y} = 0
すなわち、$ xy \in P
したがって、$ x \in Pまたは$ y \in P
すなわち$ \overline{x} = 0 または$ \overline{y} = 0
よってR/Pは整域である
逆
イデアルPに対してR/Pが整域の時
R ≠ Pであり、
$ xy \in P \Rightarrow $ \overline{xy} = \overline{x}\cdot\overline{y} = 0
よって$ \overline{x} = 0または$ \overline{y} = 0
すなわち$ x \in Pまたは$ y \in P
よってPは素イデアル
内容簡単のわり、証明は長いmoyamin.icon
わざわざ逆とかやらんでも同値結んで書けそう